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基本的には、網戸を外しベランダ又は外に出しシャンパー（中性洗剤）を使って水洗いします。

ヤニや油で汚れが付いている時には、プラス（アルカリ系）の洗剤を塗布して汚れを落していきます。

枠の上下・サイド・あと汚れが乗っかっている箇所には小ブラシを使ってます。

水が流せない場合には何とか浴室に入れて洗ったり、網戸が黒の場合は水洗いをしても乾くとホコリ等が目立つので、いきなりバキュームを網戸面に掛けたり、ウエスを両側から挟みこんで拭き掃除したりして仕上げてます。

コメントが沢山出ていますが、色々試してご自身が一番良い方法をチョイスしてみては如何でしょうか。

長文で誠にすみません。

網戸ブラシと言う道具を使っています。
洗車ブラシに比べ擦る幅も広く毛も固めで重宝してます。

在宅クリーニングの場合では洗車ブラシを使っていますが、
空室の場合では作業効率を上げるために、
洗剤噴霧後にガラス用ウオッシャー（シャンパー）で洗い、
電動式噴霧器で流してからそのままサッシレールまで一気に洗っています。

場所によってはラスター刷毛とタオル拭きで終わらせる事もあります。

普通は洗車ブラシを使用しますが、ハンドブラシを使用している人も見たことあります。ワンルームなど短時間で済ませるときは、ベランダにホースを引っ張ってきて、網戸にあらかじめ洗剤をまき、ジェットの力で、正面からではなく、横すれすれから上から下に、洗っていきます、ついでに下の溝やら、ベランダも一緒に洗います。あとはサッシ枠ガラスも済ませれば終了です。どうやってもはずせない網戸の時は、白いスポンジ（今はやりの水を含ませて汚れを取る）を使用してます。
このスポンジ傷をつけたくないポリ板とかちょっとしたクロスの汚れなどにも使用してます。

私も洗車ブラシでしますが、ガラスの道具のシャンプーでする人もいます。それ以外は見たことはありませんね！